Cách tạo Ma phương có bậc là bội số của 4

Ma phương (Magic square) là một dãy gồm n² số nguyên dương sắp xếp trong một hình vuông kích thước n x n chia thành n² ô vuông với n hàng và n cột, sao cho tổng số các số trên mỗi hàng, mỗi cột và trên hai đường chéo đều bằng nhau. Tổng số chung nầy gọi là Hằng số Ma phương (Magic constant).  Số n gọi là Bậc của Ma phương.

 
Thông thường dãy số dùng trong ma phương kích thước n x n  là các số liên tiếp từ 1 đến n².  Hằng số của ma phương kích thước n x n tạo bởi n² số liên tiếp từ 1 đến n² bằng:

Hằng số Ma phương = ½ n(n² + 1) 

Ma phương có bậc là bội số của 4 khi n = 4k, k là một số nguyên bất kỳ, thí dụ: n = 4, 8, ….

Ma phương bậc 8 

 Để cụ thể giải thích phương pháp, ta tìm cách tạo một Ma phương bậc 8, kích thước 8×8, bằng các số từ 1 đến 64. Ma phương nầy có Hằng số bằng 260.
 
 
Phương pháp gồm nhiều bước như sau:

Bước 1 – Hình  H5.

Vẽ hình vuông 8 x 8  với 64 ô đều nhau.

Vẽ 2 đường thẳng song song với 2 cạnh không liền nhau của hình vuông, chia hình vuông thàng 4 hình vuông nhỏ
4 x 4, như hình vẽ.

Vẽ các đường chéo của 4 hình vuông nhỏ 4×4.

Bước 2 – Vẫn hình H5. 

Điền số trên các ô nằm trên đường chéo, theo 1 chiều nhất định,

Bắt đầu từ ô đầu tiên ở một góc nào đó, ở đây ta chọn ô ở góc trên bên trái, và chọn một chiều đi nhất định nào đó, ở đây ta chọn chiều từ trái sang phải. Bắt đầu đi từ ô đầu tiên đến ô cuối cùng, ta đếm số từ 1 đến 64. Khi ô nằm trên đường chéo của các hình vuông 4×4, ta điền số tương ứng vào ô đó. Ô cuối cùng ở góc dưới bên mặt có số điền vào là 64.

Bước 3 – Hình H6.

Điền số trên các ô nằm ngoài đường chéo, theo  chiều ngược lại.

Bắt đầu từ ô cuối cùng ở góc dưới bên mặt, ta đi theo chiều ngược lại (từ phải sang trái) và cũng đếm từ 1 đến 64. Khi ô không nằm trên đường chéo, ta điền số tương ứng vào ô đó.

Bước 4 – Hình H7 – Kiểm soát.

Tổng số các số ở mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo đều bằng Hằng số Ma phương 260.

 Phương pháp tạo Ma phương có bậc là bội số của 4

 
Tóm lại, ta có thể tóm tắt phương pháp tạo Ma phương có bậc n = 4k  như sau:

• Chia hình vuông n x n thành k²  hình vuông nhỏ kích thước 4×4
•  Vẽ đường chéo của tất cả các hình vuông nhỏ
• Chọn 2 điểm khởi hành ở 2 góc đối diện và 2 chiều đi đối nhau để đếm từ 1 đến n²
• Một chiều đi, điền số đếm vào các ô trên đường chéo, chiều kia, điền số đếm vào các ô trống.

 
 Ma phương bậc 12

 
Áp dụng phương pháp để tạo Ma phương bậc 12 (k = 3)  với các số từ 1 đến 144 và Hằng số Ma phương 870:

• Vẽ hình vuông kích thước 12×12 chia thành 144 ô đều nhau
• Vẽ thêm 4 đường thẳng song song với 2 cạnh để chia hình hình vuông 12×12 thành 9 hình vuông nhỏ kích thước 4×4
• Vẽ các đường chéo của 9 hình vuông nhỏ 4×4
• Khởi từ một góc nào đó của hình vuông 12×12 và đi theo một chiều nhất định (trong hình, góc chọn là góc trên bên trái và chiều đi là từ trái sang phải), đếm từ 1 đến 144.
• Ghi số đếm vào ô khi ô đó nằm trên đường chéo của các hình vuông 4×4. Số cuối cùng 144 nằm ở góc đối diện với góc bắt đầu (trong hình, đó là góc dưới bên phải)
• Từ góc đối diện, đi theo chiều ngược lại, cũng đếm từ 1 đến 144.
• Ghi số đếm vào Ma phương khi gặp ô trống.

Kết quả:

 
 Hình vuông huyền diệu của Albrecht Dürer

Viết về ma phương mà bỏ qua một ma phương bậc 4 đặc biệt của Albrecht Dürer là một sự thiếu sót. Albrecht Dürer (1471 – 1528) là một hoạ sĩ và điêu khắc gia tài năng thời phục hưng của Đức, sống tại Nuremberg.  Ông để lại nhiều công trình điêu khắc nổi tiếng trên gỗ và đồng, trong đó có công trình “Melancholy I” trưng bày tại Bảo tàng viện ở Anh.

Đặc biệt trong Melancholy  I, có một hình vuông nhỏ chia thành 16 ô, mỗi ô có một con số khác nhau trong khoảng từ 1 đến 16 (Xem Hình 1, 2 và 3).

Hình vuông khắc trong Melancholy I có nhiều tính chất đặc biệt và được gọi là “Hình vuông huyền diệu Dürer”.

Các tính chất đặc biệt của Hình vuông huyền diệu  Dürer:a)     Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột bằng 34  (Hình 4) 5 + 10 + 11 + 8  =  34 3 + 10 + 6 + 15  =  34 b)    Tổng các số trên 2 đường chéo bằng 34 (Hình 5) 16 + 10 + 7 + 1  =  34 13 + 11 + 6 + 4  = 34 c)     Tổng các số trên 4 khối 2×2 ở 4 góc bằng 34 (Hình 6) 16 + 3 + 5 + 10  =  34;      2 + 13 + 11 + 8  =  34 7 + 12 + 14 + 1  =  34;      9 + 6 + 4 + 15    =  34 d)    Tổng các số trong hình vuông 2×2 ở giữa bằng 34  (Hình 7) 10 + 11 + 6 + 7  =  34 e)     Tổng các số ở 4 góc bằng 34  (Hình 8) 16 + 13 + 4 + 1  =  34 f)     Nếu loại 4 góc ra, hình vuông trở thành hình chữ thập. Tổng các số ở 2 cạnh đối bằng 34 (Hình 9) 3 + 2 + 15 + 14  =  34 5 + 9 + 8 + 12   =  34 g)    Tổng các cặp số xéo góc đối diện bằng 34 (Hình 10) 3 + 5 + 12 + 14  =  34 2 + 8 + 9 + 15   =  34 h)    Các cặp số nằm ngang đối diện qua trung điểm của hình vuông cũng có tổng bằng 34 (Hình 11) 16 + 3 + 14 + 1  =  34 2 + 13 + 4 + 15  =  34 5 + 10 +7 + 12   =  34 11 + 8 + 9 + 6    =  34 Số 34 được gọi là số huyền diệu của Hình Vuông (“C” – Carré) huyền diệu Dürer (“D”). Số 34 cũng là một số Fibonacci. Hai số 15 và 14 đứng kề nhau (Hình 3) hợp thành số 1514, là năm mà Albrecht Dürer thực hiện công trình điêu khắc Melancholy I.