Một số tính chất kỳ thú của các ma phương bậc thấp

 ĐỊNH NGHĨA MA PHƯƠNG

Trong toán vui, một ma phương (hay hình vuông kì ảo) bậc n$�$ là sự sắp xếp n2${�}^2$ số nguyên phân biệt từ 1$1$ đến n2${�}^2$ vào một bảng ô vuông sao cho tổng n$�$ số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau.

Mỗi ma phương bậc n$�$ đều có một hằng số, gọi là hằng số của ma phương. Hằng số của ma phương chính bằng tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Hằng số của ma phương phụ thuộc vào n$�$:

M=n(n2+1)2$$�=\frac{�({�}^2+1)}{2}$$

MA PHƯƠNG BẬC BA

492357816$$\begin{array}{|ccc|}\hline 4& 3& 8\\ 9& 5& 1\\ 2& 7& 6\\ \hline\end{array}$$

Như đã nói, ta nhận ra được điều đặc biệt ở hình vuông 9 ô này là tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo của nó đều bằng nhau và đều bằng 15$15$. Và 15$15$ chính là hằng số của ma phương bậc ba.

TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BA

Thật vậy,

4+3+8=9+5+1=2+7+6=4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6$$4+3+8=9+5+1=2+7+6=4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6$$

=8+5+2=15$$=8+5+2=15$$

Câu hỏi đặt ra là rằng để tạo được một ma phương bậc ba, ta phải làm như thế nào ? Chỉ bằng những mò mẫm vô căn cứ theo suy tính của bản thân hay có một "bí quyết" nào đó. Sau đây là một phương pháp "thủ công" nhưng giúp ta lập được một ma phương bậc ba một cách rất nhanh gọn và đơn giản.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BA

Bước 1 : Trước tiên, ta vẽ hình vuông sau rồi điền các số theo thứ tự (như hình dưới đây) :

748159263$$\begin{array}{|ccccc|}\hline & & 1& & \\ & 4& & 2\\ 7& & 5& & 3\\ & 8& & 6\\ & & 9& & \\ \hline\end{array}$$

Bước 2 : Chuyển các số ngoài cùng 1,3,7,9$1,3,7,9$ theo thứ tự về giữa hai số 8$8$ và 6$6$, 4$4$ và 8$8$, 2$2$ và 6$6$, 4$4$ và 2$2$

Lập tức, ta được một ma phương bậc ba.

MA PHƯƠNG BẬC BA VỚI CÁC SỐ NGUYÊN TỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG

82961916191879103919940914591249$$\begin{array}{|ccc|}\hline 829& 1879& 409\\ 619& 1039& 1459\\ 1619& 199& 1249\\ \hline\end{array}$$

Bạn nhận ra được điều gì đặc biệt ở ma phương này ?
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Thật vậy, với số nguyên tố nhỏ nhất là 199$199$, chỉ cần liên tục cộng thêm 210$210$ ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.

Có lẽ bạn chưa biết rằng chín số nguyên tố : 199,409,619,829,1039,1249,1669,1879$199,409,619,829,1039,1249,1669,1879$ lập thành một cấp số cộng (tức là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số d$�$, gọi là công sai của cấp số cộng, ở đây thì d=210$�=210$)

MA PHƯƠNG BẬC BỐN

11281314711215610349516$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 14& 15& 4\\ 12& 7& 6& 9\\ 8& 11& 10& 5\\ 13& 2& 3& 16\\ \hline\end{array}$$

Khác với ma phương bậc ba, ma phương bậc bốn còn đa dạng hơn về những tính chất.

TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BỐN

Tính chất 1 : Tổng các số thuộc 4 góc của ma phương đúng bằng hằng số ma phương

Thật vậy,

1+4+13+16=34$$1+4+13+16=34$$

(hằng số của ma phương là 34$34$)

Tính chất 2 : Tổng các số thuộc mỗi hàng đều gồm hai cặp : một cặp có tổng bằng 15$15$ và một cặp có tổng bằng 19$19$.

Thật vậy :

Hàng thứ nhất :

1+14=15;15+4=19$$1+14=15;15+4=19$$

Hàng thứ hai :

6+9=15;12+7=19$$6+9=15;12+7=19$$

Hàng thứ ba :

10+5=15;12+7=19$$10+5=15;12+7=19$$

Hàng thứ bốn :

13+2=15;3+16=19$$13+2=15;3+16=19$$

Tính chất 3 : Tổng bình phương của các số hàng trên cùng và hàng dưới cùng bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hàng giữa cũng bằng nhau.

Thật vậy, ta cùng kiểm chứng :

12+142+152+42=438=132+22+32+162$$1^2+{14}^2+{15}^2+4^2=438={13}^2+2^2+3^2+{16}^2$$

122+72+62+92=310=82+112+102+52$${12}^2+7^2+6^2+9^2=310=8^2+{11}^2+{10}^2+5^2$$

Tính chất 4 : Tổng bình phương của các số thuộc cột thứ nhất và thứ tư bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hai cột giữa cũng bằng nhau.

Cùng kiểm tra nào :

12+122+82+132=378=42+92+52+162$$1^2+{12}^2+8^2+{13}^2=378=4^2+9^2+5^2+{16}^2$$

142+72+112+22=370=152+62+102+32$${14}^2+7^2+{11}^2+2^2=370={15}^2+6^2+{10}^2+3^2$$

Tính chất 5 : Hãy để ý đến những con số ở hai đầu cột 2 và cột 3 (14,15,2,3)$(14,15,2,3)$ và những con số ở hai đầu hàng 2 và hàng 3 (12,8,9,5)$(12,8,9,5)$, ta sẽ thấy một điều đặc biệt :

12+14+5+3=15+9+2+8$$12+14+5+3=15+9+2+8$$

122+142+52+32=374=152+92+22+82$${12}^2+{14}^2+5^2+3^2=374={15}^2+9^2+2^2+8^2$$

123+143+53+33=4624=153+93+23+83$${12}^3+{14}^3+5^3+3^3=4624={15}^3+9^3+2^3+8^3$$

Thật là kì diệu !

Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về cách lập ma phương bậc bốn.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BỐN

Bước 1 : Sắp xếp các số 1,2,...,16$1,2,...,16$ vào 16$16$ ô của hình vuông theo thứ tự như hình bên

15913261014371115481216$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\\ \hline\end{array}$$

Bước 2 : Đổi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại rồi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 cho nhau

11251621161531071449813$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 2& 3& 4\\ 12& 11& 10& 9\\ 5& 6& 7& 8\\ 16& 15& 14& 13\\ \hline\end{array}$$

Bước 3 : Đổi chỗ các số của cột 2 và cột 3 theo thứ tự ngược lại

11251615611214710349813$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 15& 14& 4\\ 12& 6& 7& 9\\ 5& 11& 10& 8\\ 16& 2& 3& 13\\ \hline\end{array}$$

Bước 4 : Đỗi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại, ta được ma phương bậc 4 (hình trên)

MA PHƯƠNG BẬC BỐN VỚI CÁC SỐ LẺ

511291925231153132721311779$$\begin{array}{|cccc|}\hline 5& 25& 3& 31\\ 11& 23& 13& 17\\ 29& 1& 27& 7\\ 19& 15& 21& 9\\ \hline\end{array}$$

Sau đây là những tính chất thú vị của ma phương bậc bốn với các số lẻ

Tính chất1: Hằng số của ma phương bằng 64 và cũng bằng tổng của các số thuộc :Ma phương bậc bốn với các số lẻ cũng có những tính chất khá thú vị

a) Bốn góc hình vuông

b) Bốn góc của bốn hình vuông nhỏ gồm 9 ô (mỗi hình vuông có kích thước 3$3$ x 3$3$)

c) Bốn góc của 10$10$ hình vuông gồm 4$4$ ô (hình vuông có kích thước 2$2$ x 2$2$)

d) Bốn góc của sáu hình chữ nhật dài 4 ô và rộng 2 ô

e) Từng cặp cạnh đối của hình vuông mà đỉnh là điểm giữa các cạnh của hình vuông đã cho.

Tính chất 2: Tổng các bình phương của các số trong hai hàng 1 và hàng 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai hàng 2 và hàng 4 cũng bằng nhau

52+252+32+312=1620=292+12+272+72$$5^2+{25}^2+3^2+{31}^2=1620={29}^2+1^2+{27}^2+7^2$$

112+232+132+172=1108=192+152+212+92$${11}^2+{23}^2+{13}^2+{17}^2=1108={19}^2+{15}^2+{21}^2+9^2$$

Tính chất 3: Tổng các bình phương của các số trong hai cột 1 và cột 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai cột 2 và 4 cũng bằng nhau

52+112+292+192=1348=32+132+272+212$$5^2+{11}^2+{29}^2+{19}^2=1348=3^2+{13}^2+{27}^2+{21}^2$$

252+232+12+152=1380=312+172+72+92$${25}^2+{23}^2+1^2+{15}^2=1380={31}^2+{17}^2+7^2+9^2$$

Mở rộng hơn, ta tham khảo ma phương bậc 5.

MA PHƯƠNG BẬC NĂM

11417102324125186725131192082114231692215