Một số tính chất kỳ thú của các ma phương bậc thấp

 ĐỊNH NGHĨA MA PHƯƠNG

Trong toán vui, một ma phương (hay hình vuông kì ảo) bậc n$�$ là sự sắp xếp n2${�}^2$ số nguyên phân biệt từ 1$1$ đến n2${�}^2$ vào một bảng ô vuông sao cho tổng n$�$ số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau.

Mỗi ma phương bậc n$�$ đều có một hằng số, gọi là hằng số của ma phương. Hằng số của ma phương chính bằng tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Hằng số của ma phương phụ thuộc vào n$�$:

M=n(n2+1)2$$�=\frac{�({�}^2+1)}{2}$$

MA PHƯƠNG BẬC BA

492357816$$\begin{array}{|ccc|}\hline 4& 3& 8\\ 9& 5& 1\\ 2& 7& 6\\ \hline\end{array}$$

Như đã nói, ta nhận ra được điều đặc biệt ở hình vuông 9 ô này là tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo của nó đều bằng nhau và đều bằng 15$15$. Và 15$15$ chính là hằng số của ma phương bậc ba.

TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BA

Thật vậy,

4+3+8=9+5+1=2+7+6=4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6$$4+3+8=9+5+1=2+7+6=4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6$$

=8+5+2=15$$=8+5+2=15$$

Câu hỏi đặt ra là rằng để tạo được một ma phương bậc ba, ta phải làm như thế nào ? Chỉ bằng những mò mẫm vô căn cứ theo suy tính của bản thân hay có một "bí quyết" nào đó. Sau đây là một phương pháp "thủ công" nhưng giúp ta lập được một ma phương bậc ba một cách rất nhanh gọn và đơn giản.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BA

Bước 1 : Trước tiên, ta vẽ hình vuông sau rồi điền các số theo thứ tự (như hình dưới đây) :

748159263$$\begin{array}{|ccccc|}\hline & & 1& & \\ & 4& & 2\\ 7& & 5& & 3\\ & 8& & 6\\ & & 9& & \\ \hline\end{array}$$

Bước 2 : Chuyển các số ngoài cùng 1,3,7,9$1,3,7,9$ theo thứ tự về giữa hai số 8$8$ và 6$6$, 4$4$ và 8$8$, 2$2$ và 6$6$, 4$4$ và 2$2$

Lập tức, ta được một ma phương bậc ba.

MA PHƯƠNG BẬC BA VỚI CÁC SỐ NGUYÊN TỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG

82961916191879103919940914591249$$\begin{array}{|ccc|}\hline 829& 1879& 409\\ 619& 1039& 1459\\ 1619& 199& 1249\\ \hline\end{array}$$

Bạn nhận ra được điều gì đặc biệt ở ma phương này ?
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Thật vậy, với số nguyên tố nhỏ nhất là 199$199$, chỉ cần liên tục cộng thêm 210$210$ ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.

Có lẽ bạn chưa biết rằng chín số nguyên tố : 199,409,619,829,1039,1249,1669,1879$199,409,619,829,1039,1249,1669,1879$ lập thành một cấp số cộng (tức là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số d$�$, gọi là công sai của cấp số cộng, ở đây thì d=210$�=210$)

MA PHƯƠNG BẬC BỐN

11281314711215610349516$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 14& 15& 4\\ 12& 7& 6& 9\\ 8& 11& 10& 5\\ 13& 2& 3& 16\\ \hline\end{array}$$

Khác với ma phương bậc ba, ma phương bậc bốn còn đa dạng hơn về những tính chất.

TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BỐN

Tính chất 1 : Tổng các số thuộc 4 góc của ma phương đúng bằng hằng số ma phương

Thật vậy,

1+4+13+16=34$$1+4+13+16=34$$

(hằng số của ma phương là 34$34$)

Tính chất 2 : Tổng các số thuộc mỗi hàng đều gồm hai cặp : một cặp có tổng bằng 15$15$ và một cặp có tổng bằng 19$19$.

Thật vậy :

Hàng thứ nhất :

1+14=15;15+4=19$$1+14=15;15+4=19$$

Hàng thứ hai :

6+9=15;12+7=19$$6+9=15;12+7=19$$

Hàng thứ ba :

10+5=15;12+7=19$$10+5=15;12+7=19$$

Hàng thứ bốn :

13+2=15;3+16=19$$13+2=15;3+16=19$$

Tính chất 3 : Tổng bình phương của các số hàng trên cùng và hàng dưới cùng bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hàng giữa cũng bằng nhau.

Thật vậy, ta cùng kiểm chứng :

12+142+152+42=438=132+22+32+162$$1^2+{14}^2+{15}^2+4^2=438={13}^2+2^2+3^2+{16}^2$$

122+72+62+92=310=82+112+102+52$${12}^2+7^2+6^2+9^2=310=8^2+{11}^2+{10}^2+5^2$$

Tính chất 4 : Tổng bình phương của các số thuộc cột thứ nhất và thứ tư bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hai cột giữa cũng bằng nhau.

Cùng kiểm tra nào :

12+122+82+132=378=42+92+52+162$$1^2+{12}^2+8^2+{13}^2=378=4^2+9^2+5^2+{16}^2$$

142+72+112+22=370=152+62+102+32$${14}^2+7^2+{11}^2+2^2=370={15}^2+6^2+{10}^2+3^2$$

Tính chất 5 : Hãy để ý đến những con số ở hai đầu cột 2 và cột 3 (14,15,2,3)$(14,15,2,3)$ và những con số ở hai đầu hàng 2 và hàng 3 (12,8,9,5)$(12,8,9,5)$, ta sẽ thấy một điều đặc biệt :

12+14+5+3=15+9+2+8$$12+14+5+3=15+9+2+8$$

122+142+52+32=374=152+92+22+82$${12}^2+{14}^2+5^2+3^2=374={15}^2+9^2+2^2+8^2$$

123+143+53+33=4624=153+93+23+83$${12}^3+{14}^3+5^3+3^3=4624={15}^3+9^3+2^3+8^3$$

Thật là kì diệu !

Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về cách lập ma phương bậc bốn.

TẠO MA PHƯƠNG BẬC BỐN

Bước 1 : Sắp xếp các số 1,2,...,16$1,2,...,16$ vào 16$16$ ô của hình vuông theo thứ tự như hình bên

15913261014371115481216$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\\ \hline\end{array}$$

Bước 2 : Đổi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại rồi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 cho nhau

11251621161531071449813$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 2& 3& 4\\ 12& 11& 10& 9\\ 5& 6& 7& 8\\ 16& 15& 14& 13\\ \hline\end{array}$$

Bước 3 : Đổi chỗ các số của cột 2 và cột 3 theo thứ tự ngược lại

11251615611214710349813$$\begin{array}{|cccc|}\hline 1& 15& 14& 4\\ 12& 6& 7& 9\\ 5& 11& 10& 8\\ 16& 2& 3& 13\\ \hline\end{array}$$

Bước 4 : Đỗi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại, ta được ma phương bậc 4 (hình trên)

MA PHƯƠNG BẬC BỐN VỚI CÁC SỐ LẺ

511291925231153132721311779$$\begin{array}{|cccc|}\hline 5& 25& 3& 31\\ 11& 23& 13& 17\\ 29& 1& 27& 7\\ 19& 15& 21& 9\\ \hline\end{array}$$

Sau đây là những tính chất thú vị của ma phương bậc bốn với các số lẻ

Tính chất1: Hằng số của ma phương bằng 64 và cũng bằng tổng của các số thuộc :Ma phương bậc bốn với các số lẻ cũng có những tính chất khá thú vị

a) Bốn góc hình vuông

b) Bốn góc của bốn hình vuông nhỏ gồm 9 ô (mỗi hình vuông có kích thước 3$3$ x 3$3$)

c) Bốn góc của 10$10$ hình vuông gồm 4$4$ ô (hình vuông có kích thước 2$2$ x 2$2$)

d) Bốn góc của sáu hình chữ nhật dài 4 ô và rộng 2 ô

e) Từng cặp cạnh đối của hình vuông mà đỉnh là điểm giữa các cạnh của hình vuông đã cho.

Tính chất 2: Tổng các bình phương của các số trong hai hàng 1 và hàng 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai hàng 2 và hàng 4 cũng bằng nhau

52+252+32+312=1620=292+12+272+72$$5^2+{25}^2+3^2+{31}^2=1620={29}^2+1^2+{27}^2+7^2$$

112+232+132+172=1108=192+152+212+92$${11}^2+{23}^2+{13}^2+{17}^2=1108={19}^2+{15}^2+{21}^2+9^2$$

Tính chất 3: Tổng các bình phương của các số trong hai cột 1 và cột 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai cột 2 và 4 cũng bằng nhau

52+112+292+192=1348=32+132+272+212$$5^2+{11}^2+{29}^2+{19}^2=1348=3^2+{13}^2+{27}^2+{21}^2$$

252+232+12+152=1380=312+172+72+92$${25}^2+{23}^2+1^2+{15}^2=1380={31}^2+{17}^2+7^2+9^2$$

Mở rộng hơn, ta tham khảo ma phương bậc 5.

MA PHƯƠNG BẬC NĂM

11417102324125186725131192082114231692215

Cách tạo Ma phương có bậc là bội số của 4

Ma phương (Magic square) là một dãy gồm n² số nguyên dương sắp xếp trong một hình vuông kích thước n x n chia thành n² ô vuông với n hàng và n cột, sao cho tổng số các số trên mỗi hàng, mỗi cột và trên hai đường chéo đều bằng nhau. Tổng số chung nầy gọi là Hằng số Ma phương (Magic constant).  Số n gọi là Bậc của Ma phương.

 
Thông thường dãy số dùng trong ma phương kích thước n x n  là các số liên tiếp từ 1 đến n².  Hằng số của ma phương kích thước n x n tạo bởi n² số liên tiếp từ 1 đến n² bằng:

Hằng số Ma phương = ½ n(n² + 1) 

Ma phương có bậc là bội số của 4 khi n = 4k, k là một số nguyên bất kỳ, thí dụ: n = 4, 8, ….

Ma phương bậc 8 

 Để cụ thể giải thích phương pháp, ta tìm cách tạo một Ma phương bậc 8, kích thước 8×8, bằng các số từ 1 đến 64. Ma phương nầy có Hằng số bằng 260.
 
 
Phương pháp gồm nhiều bước như sau:

Bước 1 – Hình  H5.

Vẽ hình vuông 8 x 8  với 64 ô đều nhau.

Vẽ 2 đường thẳng song song với 2 cạnh không liền nhau của hình vuông, chia hình vuông thàng 4 hình vuông nhỏ
4 x 4, như hình vẽ.

Vẽ các đường chéo của 4 hình vuông nhỏ 4×4.

Bước 2 – Vẫn hình H5. 

Điền số trên các ô nằm trên đường chéo, theo 1 chiều nhất định,

Bắt đầu từ ô đầu tiên ở một góc nào đó, ở đây ta chọn ô ở góc trên bên trái, và chọn một chiều đi nhất định nào đó, ở đây ta chọn chiều từ trái sang phải. Bắt đầu đi từ ô đầu tiên đến ô cuối cùng, ta đếm số từ 1 đến 64. Khi ô nằm trên đường chéo của các hình vuông 4×4, ta điền số tương ứng vào ô đó. Ô cuối cùng ở góc dưới bên mặt có số điền vào là 64.

Bước 3 – Hình H6.

Điền số trên các ô nằm ngoài đường chéo, theo  chiều ngược lại.

Bắt đầu từ ô cuối cùng ở góc dưới bên mặt, ta đi theo chiều ngược lại (từ phải sang trái) và cũng đếm từ 1 đến 64. Khi ô không nằm trên đường chéo, ta điền số tương ứng vào ô đó.

Bước 4 – Hình H7 – Kiểm soát.

Tổng số các số ở mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo đều bằng Hằng số Ma phương 260.

 Phương pháp tạo Ma phương có bậc là bội số của 4

 
Tóm lại, ta có thể tóm tắt phương pháp tạo Ma phương có bậc n = 4k  như sau:

• Chia hình vuông n x n thành k²  hình vuông nhỏ kích thước 4×4
•  Vẽ đường chéo của tất cả các hình vuông nhỏ
• Chọn 2 điểm khởi hành ở 2 góc đối diện và 2 chiều đi đối nhau để đếm từ 1 đến n²
• Một chiều đi, điền số đếm vào các ô trên đường chéo, chiều kia, điền số đếm vào các ô trống.

 
 Ma phương bậc 12

 
Áp dụng phương pháp để tạo Ma phương bậc 12 (k = 3)  với các số từ 1 đến 144 và Hằng số Ma phương 870:

• Vẽ hình vuông kích thước 12×12 chia thành 144 ô đều nhau
• Vẽ thêm 4 đường thẳng song song với 2 cạnh để chia hình hình vuông 12×12 thành 9 hình vuông nhỏ kích thước 4×4
• Vẽ các đường chéo của 9 hình vuông nhỏ 4×4
• Khởi từ một góc nào đó của hình vuông 12×12 và đi theo một chiều nhất định (trong hình, góc chọn là góc trên bên trái và chiều đi là từ trái sang phải), đếm từ 1 đến 144.
• Ghi số đếm vào ô khi ô đó nằm trên đường chéo của các hình vuông 4×4. Số cuối cùng 144 nằm ở góc đối diện với góc bắt đầu (trong hình, đó là góc dưới bên phải)
• Từ góc đối diện, đi theo chiều ngược lại, cũng đếm từ 1 đến 144.
• Ghi số đếm vào Ma phương khi gặp ô trống.

Kết quả:

 
 Hình vuông huyền diệu của Albrecht Dürer

Viết về ma phương mà bỏ qua một ma phương bậc 4 đặc biệt của Albrecht Dürer là một sự thiếu sót. Albrecht Dürer (1471 – 1528) là một hoạ sĩ và điêu khắc gia tài năng thời phục hưng của Đức, sống tại Nuremberg.  Ông để lại nhiều công trình điêu khắc nổi tiếng trên gỗ và đồng, trong đó có công trình “Melancholy I” trưng bày tại Bảo tàng viện ở Anh.

Đặc biệt trong Melancholy  I, có một hình vuông nhỏ chia thành 16 ô, mỗi ô có một con số khác nhau trong khoảng từ 1 đến 16 (Xem Hình 1, 2 và 3).

Hình vuông khắc trong Melancholy I có nhiều tính chất đặc biệt và được gọi là “Hình vuông huyền diệu Dürer”.

Các tính chất đặc biệt của Hình vuông huyền diệu  Dürer:a)     Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột bằng 34  (Hình 4) 5 + 10 + 11 + 8  =  34 3 + 10 + 6 + 15  =  34 b)    Tổng các số trên 2 đường chéo bằng 34 (Hình 5) 16 + 10 + 7 + 1  =  34 13 + 11 + 6 + 4  = 34 c)     Tổng các số trên 4 khối 2×2 ở 4 góc bằng 34 (Hình 6) 16 + 3 + 5 + 10  =  34;      2 + 13 + 11 + 8  =  34 7 + 12 + 14 + 1  =  34;      9 + 6 + 4 + 15    =  34 d)    Tổng các số trong hình vuông 2×2 ở giữa bằng 34  (Hình 7) 10 + 11 + 6 + 7  =  34 e)     Tổng các số ở 4 góc bằng 34  (Hình 8) 16 + 13 + 4 + 1  =  34 f)     Nếu loại 4 góc ra, hình vuông trở thành hình chữ thập. Tổng các số ở 2 cạnh đối bằng 34 (Hình 9) 3 + 2 + 15 + 14  =  34 5 + 9 + 8 + 12   =  34 g)    Tổng các cặp số xéo góc đối diện bằng 34 (Hình 10) 3 + 5 + 12 + 14  =  34 2 + 8 + 9 + 15   =  34 h)    Các cặp số nằm ngang đối diện qua trung điểm của hình vuông cũng có tổng bằng 34 (Hình 11) 16 + 3 + 14 + 1  =  34 2 + 13 + 4 + 15  =  34 5 + 10 +7 + 12   =  34 11 + 8 + 9 + 6    =  34 Số 34 được gọi là số huyền diệu của Hình Vuông (“C” – Carré) huyền diệu Dürer (“D”). Số 34 cũng là một số Fibonacci. Hai số 15 và 14 đứng kề nhau (Hình 3) hợp thành số 1514, là năm mà Albrecht Dürer thực hiện công trình điêu khắc Melancholy I.